灰度形態學的基本運算

對應於二元形態學另壹種形態學操作是灰度形態學。與二值形態學相比，灰度形態學不僅改變了圖像本身的空間大小，還改變了圖像本身的灰度值。

灰度形態膨脹的數學定義可以用下面的公式表示:

其中，表示原始圖像的結構元素，表示對原始圖像的膨脹操作，為了與二值膨脹操作符號區分開來，我們使用了灰度形態膨脹操作。

根據公式，灰度形態學可以簡單理解為將原圖像F中坐標的灰度值向右移動單位，加上結構元素的值，然後取所得到的最大值。

為了更直觀的理解灰度擴展的操作過程，假設有壹個壹維灰度分布列表和壹個壹維結構元素，灰度擴展的操作過程可以如下圖所示:

如上圖所示，根據結構元素的分布，先將原圖像左移壹個單位，每個灰度值減3，記為*，再將原圖像右移壹個單位，每個灰度值減3，記為*，其余位用*填充。最後求出每壹列的最大值，得到最終結果，即對原始圖像進行帶有結構元素的灰度擴展。可以看出，原始圖像不僅灰度值發生了變化，空間尺寸也變大了。

下圖顯示了灰度擴展的另壹個示例。

壹些灰度擴展操作的結果如下圖所示:

觀察上面的灰度擴展效果圖，我們可以看到灰度擴展有以下效果:

灰度腐蝕的操作在數學上定義如下式所示:

與灰度膨脹類似，灰度腐蝕的操作可以描述為將原始圖像的像素移動壹個單位，然後減去坐標處結構元素的值，找到集合中的最小值。灰度腐蝕的明顯效果是不僅可以使圖像的尺寸變小，還可以使其灰度值變小。灰度腐蝕的過程可以想象成壹個雪人被陽光逐漸融化的過程。

同樣，為了更深入地理解灰度腐蝕的基本原理，像灰度展開壹樣，以壹個簡單的壹維數據為例介紹灰度腐蝕的計算過程，如下圖所示:

更多的例子如下:

灰度腐蝕效果圖如下:

灰度腐蝕的效果與灰度膨脹相比，呈現出相反的特征，具體特征如下:

灰度形態學的腐蝕操作和二值形態學的開操作是壹樣的，也是先用結構元素腐蝕原始灰度圖像，再進行擴展。這個過程用數學公式表示如下:

灰度開運算可以保留灰度圖像中的特定強度，弱化圖像中的某些強度。如下圖所示，以壹個壹維數據為例，灰度開運算的過程被看作是壹個用結構化元素自下而上擬合原始數據的過程，圖像中的壹些峰值無法擬合，將被擦除，從而弱化圖像強度。

灰度操作的過程如下圖所示。可以看出，經過灰度運算後，原始圖像的大小並沒有發生變化，只是某些灰度值變小了。

如下圖所示，是灰度開運算效果的具體例子，比如紅框標註的部分。通過灰度打開操作，灰度圖像中被深色(黑色)包圍的壹些較小的亮色(白色)通過打開操作杯被擦除，而由藍色方框代表的壹些較大的亮色區域被保留。

如下圖所示，是灰度操作的另壹個例子。可以看出，結構化元素的尺寸越大，灰度圖像中被擦除的亮色區域越大。

基於以上兩個例子，可以看出灰度操作具有以下特點:

灰度封閉運算的數學公式如下:

從數學公式的形式可以看出，灰度閉運算的計算過程與二值閉運算非常相似，其基本的形態學運算是灰度膨脹和腐蝕運算。與二值閉運算相比，灰度閉運算並不改變圖像本身的大小，而是改變圖像的灰度值。

為了更形象地說明灰度閉合運算的原理，以壹個壹維數據為例，如下圖所示，灰度閉合運算可以看作是利用結構化元素對壹幅圖像進行自上而下擬合的過程。在擬合的過程中，會進入壹些“死區”(比結元素小的區域)，這些“死區”數據會被埋沒。

通過數學計算了解，灰度閉運算，其計算過程如下圖所示:

可以看出，灰度關閉操作不會改變圖像本身的大小，但會增加圖像的像素值，即灰度關閉操作會使圖像更亮。

觀察下面的圖片，可以看到灰度關閉操作的效果，使得圖片中紅色邊框標註的小亮色區域(像素值較大)的大小變大，而藍色方框標註的大亮色區域沒有變化。

觀察下面的圖片，我們可以看到，灰度閉合運算的結構化元素的尺寸越大，原始灰度圖像被掩埋的面積就越大。

通過以上分析，灰度關閉操作具有以下效果:

最後，以壹條曲線為例，比較了四種灰度形態學算法的異同。

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